Números Reales

NÚMEROS REALES 

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Números Reales: Estos números incluyen tanto como a los números racionales(positivos,negativos y el cero) como a los números irracionales.
  
Números Racionales (ℚ,): Se puede representar como el cociente de dos números enteros.

Números Irracionales: Son números que poseen infinitas cifras decimales, no periódicas, estos no pueden ser expresados en forma de fracción. Ejemplos: Número PHI  (π), Número áureo (Φ ), Número e. 

Números Enteros (ℤ): Estos abarcan a los números naturales (los que se utilizan para contar los elementos de un conjunto), son aquellos que no tienen parte decimal. ejemplos: 3,28, no es un número entero)

Números Naturales (ℕ): Son aquellos que permiten contar los elementos de un conjunto. Ejemplo: Uno(1), Dos(2), Cinco(5) y Nueve(9) 

Discretos
  • En contraposición a continuos, si son divisibles un número finito de veces. ejemplos: Los números naturales son discretos.

Densos
  • Cuando entre dos números racionales hay infinitos números racionales y lo mismo ocurre con los reales.
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Representación de los números reales

  • Los números reales pueden ser representados en la recta con tanta aproximación como queramos, pero hay casos en los que podemos representarlos de forma exacta.

relación
Raíz de 5
Ejercicios
1- Decide si son verdades o falsas las siguientes afirmaciones. Justifica.

A) El conjunto N es discreto. Verdadero (porque va de en uno en uno) 

 B) El conjunto Z es discreto. Verdadero (porque va de en uno en uno)

C) El conjunto R es denso. Verdadero (porque es una línea continua ⇢ infinitos nº por ej 1..2)

D) Todos los números naturales son racionales. Verdadero(los racionales engloban a los naturales)

E)  El cociente entre dos números racionales. Verdadero (2/5 : 4/3=2.3/5.4=6/20)

 F) La raíz de 49 es un número irracional. Falso(La raíz de 49 es 7)

G)  Para representar la raíz de 5 en la recta numérica es útil construir un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 1 y 2. Verdadero .c2+c2=h2
                  12+22=h2 
                  1+4=h2
                    √5= h
                   
H)  Todo número que se expresa como raíz cuadrada de un número racional es irracional. Falso.(√9=3)

I) Las raíces cuadradas de los números primos son siempre irracionales. Verdadero. (√5 =2,23      nº primos→se divide por si mismo y por 1
SUCESIONES 

  • Se utiliza para sacar el resultado del término que uno quiera, reemplazando la n por el término que se quiera saber. ejemplos: cuanto vale a 100
a=100(1+1/100)^100
a100= 2,70
  • Podemos utilizar esta fórmula: an=(1+1/n)^n
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Ejercicios
1- Dada la sucesión An=(1+1/n)n

A) Investiga con tu calculadora y calcula los diez primeros términos de la sucesión. 

B)¿Cuánto vale a100?¿y a1000?

C)Decide si son verdades o falsos las siguientes afirmaciones dando argumentos sobre tu respuesta. 

1) Los términos de la sucesión son positivos.
2)En la sucesión cada término es mayor que el anterior. 
3)Si se toman n suficientemente grandes los términos de la sucesión son mayores que 3.

A) a1=(1+1/1)1=2
     a2=(1+2/2)2=2,25
     a3=(1+1/3)3=2,37
     a4=(1+1/4)4=2,44
     a5=(1+1/5)5=2,48
     a6=(1+1/6)6=2,52
       a7=(1+1/7)7=2,54
     a8=(1+1/8)8=2,56
     a9=(1+1/9)9=2,58 
     a10=(1+1/10)10=2,59
B) a100=(1+1/100)100=2,70 
     a1000=(1+1/1000)1000= 2,71

C) 1- Verdadero. Siempre son positivos
        2- Verdadero. Porque el valor de número aumenta
     3- Falso. a1000.000= (1+1/1000.000)1000.000=2,7182


Valor absoluto

  • El valor absoluto de un numero real siempre debe ser positivo o cero pero nunca negativo.
  • Ejemplos: a) -3 y b) 5
(-3)=3           (-3)+5)

             (5)=5              3+5=8            

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1 Los números opuestos tienen igual valor absoluto.
     |a| = |−a|
Ejemplo:
|5| = |−5| = 5
2 El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.
|a · b| = |a| ·|b|

Ejemplo:
|5 · (−2)| = |5| · |(−2)|
|−10| = |5| · |2|   
  10 = 10
Propiedades de raíces

  • La raíz es distributiva en la multiplicación y división. 
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  • En la suma y resta no.
  •  En la raíz de raíz se multiplican los índices, no se suman.

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ÁREA Y PERÍMETRO

ÀREA: El área de una figura es la cantidad de superficie que ocupa. En el caso de una figura que se dibuja sobre un papel, podríamos decir que su área es la cantidad de papel que alcanza, para medir el área de de una figura se elige un cuadrado como unidad y se cuenta cuántos cuadrados ocupa la figura.  

PERÍMETRO: El perímetro es la suma de las longitudes de los lados de una figura geométrica plana.Se refiere al contorno de una superficie o de una figura y a la medida de ese contorno. 



  • Para el área  del triángulo =     b.h                                                                                                2  
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  • Para el área del rectángulo= a.b 

  • Para el área del cuadrado= a^2 siendo a un lado del cuadrado


  • Para el área del circulo: El área de un círculo es igual al producto de π por el radio (r) al cuadrado.


INTERVALO
  • Existen dos tipos de intervalo:

rectaIntervalo abierto: Es el conjunto de números reales mayores que a y menores que b, por ejemplo: entre dos números a y b se escribe (a,b) utilizando paréntesis.


Intervalo cerrado: Es el conjunto de números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b, por ejemplo: a y b se escribe [a , b]

recta

Intervalo semiabierto por la izquierda: Es el conjunto de números reales mayores que a, y menores o iguales que b.
 (a,b] 

rceta


Intervalo semiabierto por la derecha: Es el conjunto de números reales mayores o iguales que a y menores que b.
[a,b)
recta



Cubos mágicos

  • Son números reales, que la suma de todas las filas da igual.
  • La suma de horizontales, verticales y diagonales dan lo mismo.
  • Los cuadrados mágicos son clasificados de acuerdo con el número de celdas que tiene cada fila o columnas. 
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Número de oro

  • Es un número irracional  1,6180.. representado por la letra griega Φ (phi) en honor al escultor griego Fidias.


  • Se expresa de esta manera: 
{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1,6180339887498948...}

  • Es un número nada fácil de imaginar que convive con la humanidad porque aparece en la naturaleza (crecimiento de las plantas, las piñas, distribución de hojas en un tallo, etc) en el arte y el diseño.  
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Numero pi π 
  • Es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro en geometría euclidiana.   

  • Es un número irracional y una de las constantes matemáticas mas importantes, se utiliza frecuentemente en matemáticas, ingeniería e física.    
  • Se expresa de esta manera: 
{\displaystyle \pi \approx 3.14159265358979323846\;\dots }



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